4. Диагональ АС прямоугольной трапеции ABCD перпендикуляр на боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.

4. Дано: ABCD - прямоугольная трапеция, AC $$ \perp $$ CD, $$\angle CAD = 60^\circ $$, AD = 24 см.

Найти: площадь трапеции ABCD.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD углы $$\angle A$$ и $$\angle D$$ прямые. AC $$ \perp $$ CD, следовательно, $$\triangle ACD$$ - прямоугольный. $$\angle CAD = 60^\circ $$, значит, $$\angle ACD = 30^\circ $$.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно,

$$CD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}$$.

Рассмотрим $$\triangle ACD$$: $$tg 60^\circ = \frac{CD}{AC}$$.

AC = $$CD / tg 60^\circ = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$.

Проведем высоту ВН. $$\triangle ABH$$ равен $$\triangle ACD$$, $$\angle BAH = 60^\circ $$. AH = $$AC \cdot cos60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot 1/2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$$.

$$BH = CD = 12 \text{ см}$$.

$$AD = AH + HD$$ $$\rightarrow$$ HD = AD - AH = 24 - $$2\sqrt{3} \text{ см}$$.

$$BC = HD$$ = 24 - $$2\sqrt{3} \text{ см}$$.

Найдем площадь трапеции ABCD.

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CD$$

S = $$\frac{24 - 2\sqrt{3} + 24}{2} \cdot 12 = (48 - 2\sqrt{3}) \cdot 6 = 288 - 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$.

Ответ: $$288 - 12\sqrt{3} \text{ см}^2$$