3. В треугольнике ABC ∠B = 45°, высота AN делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника АВС и сторону АС.

3. Дано: $$ \triangle ABC $$, $$ \angle B = 45^\circ $$, AN - высота, BN = 8 см, NC = 6 см.

Найти: площадь треугольника АВС и сторону АС.

Решение:

Рассмотрим $$\triangle ABN$$ - прямоугольный, т.к. AN - высота. $$\angle B = 45^\circ $$, значит $$\angle A = 45^\circ $$, следовательно, $$\triangle ABN$$ - равнобедренный и $$AN = BN = 8 \text{ см}$$.

Найдем площадь треугольника АВС:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN$$

$$BC = BN + NC = 8 + 6 = 14 \text{ см}$$

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56 \text{ см}^2$$

Найдем сторону АВ в $$\triangle ABN$$:

$$AB^2 = AN^2 + BN^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$

$$AB = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \text{ см}$$

Рассмотрим $$\triangle ANC$$ - прямоугольный:

$$AC^2 = AN^2 + NC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$

$$AC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Ответ: $$S_{ABC} = 56 \text{ см}^2$$, $$AC = 10 \text{ см}$$