10. Диагональ АС ромба ABCD равна 40, а tg∠BCA=0,9. Найдите площадь ромба.

Ответ: 1440

Решение:

• Шаг 1: Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta BOC\).
• Шаг 2: Известно, что \(AC = 40\), следовательно, \(OC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20\).
• Шаг 3: Дано \(tg \angle BCA = 0.9\), значит, \(\frac{BO}{OC} = 0.9\).
• Шаг 4: Найдем \(BO\):\[BO = 0.9 \cdot OC = 0.9 \cdot 20 = 18\]
• Шаг 5: Тогда диагональ \(BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 18 = 36\).
• Шаг 6: Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 36 = 20 \cdot 36 = 720\]
• Шаг 7: Так как диагональ равна половине произведения его диагоналей:\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 36 = 20 \cdot 36 = 720\]
• Шаг 8: Площадь ромба равна половине произведения диагоналей, умноженной на 2(т.к. рассматриваем только половину ромба):\[S = 720 \cdot 2 = 1440\]

Ответ: 1440