4. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите ра- диус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 9.6

Решение:

• Пусть дан ромб \( ABCD \), где диагональ \( AC = 32 \).
• Обозначим сторону ромба как \( a \), а угол \( \angle BCA = \alpha \).
• Тогда \( tg(\alpha) = 0.75 = \frac{3}{4} \).
• В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как \( O \). Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BOC \):

\[tg(\angle BCA) = \frac{BO}{OC}\]\[BO = OC \cdot tg(\angle BCA) = 16 \cdot \frac{3}{4} = 12\]

Тогда диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24 \). Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 = 384\]

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора из треугольника \( \triangle BOC \):

\[BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\]

Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту:

\[S = a \cdot h\]\[h = \frac{S}{a} = \frac{384}{20} = 19.2\]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\[r = \frac{h}{2} = \frac{19.2}{2} = 9.6\]

Ответ: 9.6