Диагональ АС ромба равна 28, а tg∠BCA = 1/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — О. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \) и \( BO = OD \). \( ∠ AOB = 90^\circ \).

Дано \( AC = 28 \), значит \( OC = 14 \).

В прямоугольном треугольнике \( △ BOC \) имеем \( ∠ OCB = ∠ BCA \).

По условию \( \tan(∠ BCA) = \tan(∠ OCB) = \frac{1}{3} \).

В \( △ BOC \): \( \tan(∠ OCB) = \frac{BO}{OC} \).

\( \frac{1}{3} = \frac{BO}{14} \)

\( BO = \frac{14}{3} \).

Диагональ \( BD = 2 · BO = 2 · \frac{14}{3} = \frac{28}{3} \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} · AC · BD = \frac{1}{2} · 28 · \frac{28}{3} = 14 · \frac{28}{3} = \frac{392}{3} \).

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), где \( p \) — полупериметр ромба.

Найдем длину стороны ромба \( BC \) по теореме Пифагора из \( △ BOC \):

\( BC^2 = OC^2 + BO^2 = 14^2 + (\frac{14}{3})^2 = 196 + \frac{196}{9} = 196 · (1 + \frac{1}{9}) = 196 · \frac{10}{9} \)

\( BC = √{196 · \frac{10}{9}} = 14 · \frac{√{10}}{3} = \frac{14√{10}}{3} \).

Периметр ромба \( P = 4 · BC = 4 · \frac{14√{10}}{3} = \frac{56√{10}}{3} \).

Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{28√{10}}{3} \).

Теперь найдем радиус:

\( r = \frac{S}{p} = \frac{392/3}{28√{10}/3} = \frac{392}{28√{10}} = \frac{14}{√{10}} = \frac{14√{10}}{10} = \frac{7√{10}}{5} \).

Ответ: