6. Диагональ ES ромба EFSA равна 96, a tg ∠FSE = \frac{7}{24}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 33,6

1. Площадь ромба можно выразить через его сторону и высоту: S = a \cdot h, где a - сторона ромба, h - высота ромба. Высота ромба равна двум радиусам вписанной окружности: h = 2r. Тогда, S = 2ar.
2. Также площадь ромба можно найти через его диагонали: S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2, где d_1 и d_2 - диагонали ромба. Диагональ ES = 96. Обозначим половину диагонали FA за x, тогда вся диагональ FA = 2x.
3. Тангенс угла ∠FSE равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg ∠FSE = \frac{FE}{SE} = \frac{7}{24}. Заметим, что FE = x (половина диагонали FA), a SE = \frac{ES}{2} = \frac{96}{2} = 48. Тогда, \frac{x}{48} = \frac{7}{24}, следовательно, x = 14.
4. Диагональ FA = 2x = 2 \cdot 14 = 28. Площадь ромба равна S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 28 = 1344.
5. Сторону ромба можно найти по теореме Пифагора: a = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50.
6. Тогда радиус вписанной окружности равен r = \frac{S}{2a} = \frac{1344}{2 \cdot 50} = \frac{1344}{100} = 13.44.

Ответ: 13.44