7. Диагональ осевого сечения цилиндра равна $$24\sqrt{3}$$ см и наклонена к плоскости его основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть диагональ осевого сечения цилиндра равна d = $$24\sqrt{3}$$ см, а угол наклона диагонали к плоскости основания равен $$\alpha$$ = 30°.

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, где одна сторона – высота цилиндра (H), а другая – диаметр основания (2R).

Тогда, $$H = d * sin(\alpha)$$ и $$2R = d * cos(\alpha)$$.

Вычислим высоту цилиндра: $$H = 24\sqrt{3} * sin(30°) = 24\sqrt{3} * \frac{1}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}$$

Вычислим диаметр основания: $$2R = 24\sqrt{3} * cos(30°) = 24\sqrt{3} * \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 * \frac{3}{2} = 36 \text{ см}$$

Следовательно, радиус основания равен: $$R = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$$S_{бок} = 2\pi R H = 2 * \pi * 18 * 12\sqrt{3} = 432\pi\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$432\pi\sqrt{3}$$ см$$^2$$