9. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетом 3см и прилежащим углом 60°. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу треугольника, 10см. Найдите объем призмы.

Пусть в основании призмы прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 60°, катет AC = 3 см. Боковая грань, содержащая гипотенузу, - прямоугольник, диагональ которого равна 10 см.

Найдем катет AB (прилежащий к углу 60°): $$\cos{60°} = \frac{AC}{AB}$$ $$AB = \frac{AC}{\cos{60°}} = \frac{3}{1/2} = 6 \text{ см}$$

Найдем катет BC: $$BC = AC * \tan{60°} = 3 * \sqrt{3} \text{ см}$$

Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника): $$S_{осн} = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * 3 * 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$$

Пусть CC1 - высота призмы. Рассмотрим прямоугольник ABB1A1, где AB = 6 см, A1B = 10 см (диагональ боковой грани). Найдем высоту AA1 (она же CC1) по теореме Пифагора: $$AA1 = \sqrt{A1B^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$

Тогда объем призмы: $$V = S_{осн} * AA1 = \frac{9\sqrt{3}}{2} * 8 = 36\sqrt{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $$36\sqrt{3} \text{ см}^3$$