6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов равен 24 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где C - прямой угол, CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB, и CM = 13 см. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, CM = AM = MB = 13 см. Следовательно, гипотенуза AB = 2 * CM = 2 * 13 = 26 см.

Пусть катет AC = 24 см. Найдем катет BC по теореме Пифагора:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:

$$r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{24 + 10 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$

Ответ: 4 см