8. Площадь боковой поверхности конуса равна $$20\pi \text{см}^2$$, а его образующая 5 см. Найдите объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = \pi R l$$, где R - радиус основания, l - образующая.

Дано: $$S_{бок} = 20\pi$$ см$$^2$$, l = 5 см.

Найдем радиус основания: $$20\pi = \pi R * 5$$ $$R = \frac{20\pi}{5\pi} = 4 \text{ см}$$

Высоту конуса найдем по теореме Пифагора: $$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$

Объем конуса: $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$

Подставим значения: $$V = \frac{1}{3} \pi * 4^2 * 3 = \frac{1}{3} \pi * 16 * 3 = 16\pi \text{ см}^3$$

Ответ: $$16\pi \text{ см}^3$$