3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 4√10 см и 317 гонали его боковых граней равны 4√10 см и 3√17 щадь боковой поверхности параллелепипеда.

3. Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Обозначим стороны основания AB = a, BC = b, высоту AA₁ = c. Тогда диагонали боковых граней равны:

$$AB_1 = \sqrt{a^2 + c^2} = 4\sqrt{10}$$ $$BC_1 = \sqrt{b^2 + c^2} = 3\sqrt{17}$$

Диагональ параллелепипеда равна:

$$AC_1 = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 4\sqrt{10}$$

Возведем в квадрат:

$$a^2 + c^2 = (4\sqrt{10})^2 = 16 \cdot 10 = 160$$ $$b^2 + c^2 = (3\sqrt{17})^2 = 9 \cdot 17 = 153$$ $$a^2 + b^2 + c^2 = (4\sqrt{10})^2 = 16 \cdot 10 = 160$$

Из первого и третьего уравнений:

$$b^2 = 0 \Rightarrow b = 0$$

Противоречие, так как b не может быть равным нулю, если это прямоугольный параллелепипед.

Задача не имеет решения, так как диагонали прямоугольного параллелепипеда не могут быть равны диагонали боковой грани.

Ответ: Нет решения