1. Основанием параллелепипеда является квадрат. От его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин основания. Найдите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см.

1. Рассмотрим основание параллелепипеда - квадрат ABCD. Пусть O - проекция вершины верхнего основания A₁ на плоскость основания. Так как A₁ равноудалена от всех вершин основания, то O - центр квадрата ABCD.

2. Диагональ квадрата равна 8 см. Найдем сторону квадрата. Пусть a - сторона квадрата. Тогда по теореме Пифагора:

$$a^2 + a^2 = 8^2$$ $$2a^2 = 64$$ $$a^2 = 32$$ $$a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$

3. Найдем AO (половина диагонали):

$$AO = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}$$

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOA₁, где AA₁ - боковое ребро, АО - расстояние от проекции вершины верхнего основания до вершины основания, A₁O - высота параллелепипеда.

5. По теореме Пифагора:

$$A_1O^2 + AO^2 = AA_1^2$$ $$A_1O^2 = AA_1^2 - AO^2$$ $$A_1O^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$$ $$A_1O = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$

Ответ: 3 см