2. Найдите угол ABD, прямоугольного параллеле торого АВ = 5, AD = 4, АА₁ = 3. Ответ дайте в гра

2. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Дано: AB = 5, AD = 4, AA₁ = 3. Нужно найти угол ABD₁.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁. AD = 4, DD₁ = AA₁ = 3. По теореме Пифагора найдем AD₁:

$$AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

2. Рассмотрим треугольник ABD₁. AB = 5, AD₁ = 5, BD₁ - диагональ.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. AB = 5, AD = 4. По теореме Пифагора найдем BD:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$

4. Рассмотрим треугольник ABD₁. AB = 5, AD₁ = 5, BD = √41. Этот треугольник равнобедренный, но не прямоугольный. Найдем косинус угла ABD₁ по теореме косинусов:

$$AD_1^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos{\angle ABD_1}$$ $$5^2 = 5^2 + 41 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{41} \cdot \cos{\angle ABD_1}$$ $$25 = 25 + 41 - 10\sqrt{41} \cdot \cos{\angle ABD_1}$$ $$10\sqrt{41} \cdot \cos{\angle ABD_1 = 41}$$ $$\cos{\angle ABD_1} = \frac{41}{10\sqrt{41}} = \frac{\sqrt{41}}{10} \approx \frac{6.4}{10} = 0.64$$ $$\angle ABD_1 = \arccos(0.64) \approx 50.2 \text{ градуса}$$

Ответ: 50.2 градуса