17. Диагонали \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(O\), \(BC = 5\), \(AD = 15\), \(AC = 55\). Найдите \(AO\).

Так как \(ABCD\) - трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\), треугольники \(BOC\) и \(DOA\) подобны. Из подобия треугольников следует: \[\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}\] Подставляем известные значения: \(\frac{CO}{OA} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). Пусть \(CO = x\), тогда \(OA = 3x\). Из условия известно, что \(AC = 55\), и \(AC = AO + CO\). Подставляем: \(55 = 3x + x = 4x\). Находим \(x\): \(x = \frac{55}{4} = 13.75\). Тогда \(AO = 3x = 3 \cdot 13.75 = 41.25\). Ответ: 41.25