9. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.

Решение: Поскольку BC и AD являются основаниями трапеции, то они параллельны. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (угол BOC равен углу DOA как вертикальные, а угол OBC равен углу ODA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ Подставим известные значения BC и AD: $$\frac{CO}{OA} = \frac{3}{7}$$ Пусть CO = 3x, тогда OA = 7x. Так как AC = AO + OC, то 20 = 7x + 3x 20 = 10x x = 2 Тогда AO = 7x = 7 * 2 = 14. Ответ: AO = 14