10. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$. Найдите площадь параллелограмма.

Решение: Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$, где a и b - стороны параллелограмма, а $$\alpha$$ - угол между ними. Нам известны стороны a = 12 и b = 5, а также $$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$. Нужно найти $$\sin(\alpha)$$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $$1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ Подставим известное значение тангенса: $$1 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ $$1 + \frac{2}{16} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ $$1 + \frac{1}{8} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ $$\frac{9}{8} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$ $$\cos^2(\alpha) = \frac{8}{9}$$ $$\cos(\alpha) = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Теперь найдем $$\sin(\alpha)$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$$ $$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{8}{9}$$ $$\sin^2(\alpha) = \frac{1}{9}$$ $$\sin(\alpha) = \pm \frac{1}{3}$$ Поскольку угол в параллелограмме может быть как острым, так и тупым, рассмотрим оба случая для синуса. В случае острого угла синус положительный, в случае тупого угла синус также положительный. $$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$ $$S = 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = 20$$ Ответ: Площадь параллелограмма равна 20