29. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=6, AD=13, AC=38. Найдите AO.

Так как BC и AD – основания трапеции, то треугольники BOC и DOA подобны (по двум углам). Следовательно, справедливо следующее отношение: $$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$$ Подставим известные значения: BC = 6, AD = 13. $$\frac{CO}{OA} = \frac{6}{13}$$ Также известно, что AC = 38. Тогда CO + OA = 38. Пусть OA = x, тогда CO = 38 - x. Подставим в отношение: $$\frac{38 - x}{x} = \frac{6}{13}$$ Решим уравнение: $$13(38 - x) = 6x$$ $$494 - 13x = 6x$$ $$494 = 19x$$ $$x = \frac{494}{19} = 26$$ Следовательно, AO = x = 26. Ответ: AO = 26.