912 Диагонали параллелограмма ABCD пере- секаются в точке О, М – середина отрез- ка АО. Найдите, если это возможно, та- кое число к, чтобы выполнялось равенство: a) AC=kAO; б) BO=kBD; B) OC = kCA; г) AB=kDC; д) BC=kDA; e) AM = kCA; ж) МС = кАМ; з) АС=kCM; и) АO=kBD.

Решение:

Изобразим параллелограмм ABCD, точку пересечения диагоналей O и точку M - середину AO.

      A-----------B
      |           |
  M   |     O     |
      |           |
      D-----------C

a) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AO}\)

Т.к. О - точка пересечения диагоналей, то \(AO = \frac{1}{2}AC\), следовательно \(AC = 2AO\), значит \(k = 2\).

б) \(\overrightarrow{BO} = k\overrightarrow{BD}\)

Т.к. О - точка пересечения диагоналей, то \(BO = \frac{1}{2}BD\), следовательно \(k = \frac{1}{2}\).

в) \(\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CA}\)

Т.к. О - точка пересечения диагоналей, то \(OC = \frac{1}{2}AC\), следовательно \(OC = -\frac{1}{2}CA\), значит \(k = -\frac{1}{2}\).

г) \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}\)

Т.к. ABCD - параллелограмм, то \(AB = DC\), следовательно \(k = 1\).

д) \(\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{DA}\)

Т.к. ABCD - параллелограмм, то \(BC = -AD = -DA\), следовательно \(k = -1\).

е) \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{CA}\)

Т.к. M - середина AO, то \(AM = \frac{1}{2}AO\). \(AO = \frac{1}{2}AC\), следовательно \(AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} AC = \frac{1}{4}AC\). \(AC = -CA\), следовательно \(AM = -\frac{1}{4}CA\). Значит \(k = -\frac{1}{4}\).

ж) \(\overrightarrow{MC} = k\overrightarrow{AM}\)

\(MC = MA + AC\), \(MA = -\frac{1}{4}AC\), следовательно \(MC = -\frac{1}{4}AC + AC = \frac{3}{4}AC\). \(AC = -CA\), следовательно \(MC = \frac{3}{4}AC = -\frac{3}{4}CA\). \(AM = -\frac{1}{4}CA\), следовательно \(CA = -4AM\). \(MC = -\frac{3}{4}(-4AM) = 3AM\). Значит \(k = 3\).

з) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{CM}\)

\(MC = \frac{3}{4}AC\), следовательно \(AC = \frac{4}{3}MC = \frac{4}{3}CM\). Значит \(k = \frac{4}{3}\).

и) \(\overrightarrow{AO} = k\overrightarrow{BD}\)

Т.к. AO и BD - диагонали параллелограмма, то векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) не коллинеарны, то невозможно подобрать такое число k.

Ответ: a) k = 2; б) k = 1/2; в) k = -1/2; г) k = 1; д) k = -1; е) k = -1/4; ж) k = 3; з) k = 4/3; и) невозможно.