913 Векторы а и в коллинеарны. Коллинеар- ны ли векторы: а) а +36 и а; б) 6-2а и а? Ответ обоснуйте.

Решение:

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

a) Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\). Т.к. векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то существует такое число k, что \(\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}\).

Тогда \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{a} = (1 + 3k)\overrightarrow{a}\). Следовательно, векторы \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.

б) Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\). Т.к. векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то существует такое число k, что \(\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}\).

Тогда \(\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{a} = (k - 2)\overrightarrow{a}\). Следовательно, векторы \(\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.

Ответ: а) коллинеарны; б) коллинеарны.