914 Докажите, что если векторы а и в не кол- линеарны, то: а) векторы а+б и а-в не коллинеарны; б) векторы 2а- би а+в не коллинеарны; в) векторы а+в и а+36 не коллинеарны.

Решение:

а) Докажем от противного. Допустим векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) коллинеарны, тогда существует такое число k, что \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})\). Отсюда \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{b}\) или \(\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = -k\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\) или \((1 - k)\overrightarrow{a} = -(k + 1)\overrightarrow{b}\). Отсюда следует, что \(\overrightarrow{a} = -\frac{(k + 1)}{(1 - k)}\overrightarrow{b}\), но это означает, что векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, наше допущение неверно и векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.

б) Докажем от противного. Допустим векторы \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) коллинеарны, тогда существует такое число k, что \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\). Отсюда \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}\) или \(2\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}\) или \((2 - k)\overrightarrow{a} = (k + 1)\overrightarrow{b}\). Отсюда следует, что \(\overrightarrow{a} = \frac{(k + 1)}{(2 - k)}\overrightarrow{b}\), но это означает, что векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, наше допущение неверно и векторы \(2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.

в) Докажем от противного. Допустим векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) коллинеарны, тогда существует такое число k, что \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b})\). Отсюда \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{b}\) или \(\overrightarrow{a} - k\overrightarrow{a} = 3k\overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}\) или \((1 - k)\overrightarrow{a} = (3k - 1)\overrightarrow{b}\). Отсюда следует, что \(\overrightarrow{a} = \frac{(3k - 1)}{(1 - k)}\overrightarrow{b}\), но это означает, что векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, наше допущение неверно и векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.

Ответ: доказано.