Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 12 см, а боковая сторона – 15 см. Найдите периметр трапеции.

Задание 6. Периметр равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями

Дано:

• Равнобокая трапеция ABCD (AD || BC).
• Диагонали AC ⊥ BD.
• Высота h = 12 см.
• Боковая сторона c = 15 см.

Найти: Периметр трапеции.

Решение:

1. В равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями существует свойство: высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит большее основание пополам. Это верно для прямоугольной трапеции.
2. Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями: высота равна полусумме оснований. \( h = \frac{a+b}{2} \), где a и b — основания.
3. Мы знаем, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть \( m = \frac{a+b}{2} \).
4. Следовательно, в данной трапеции высота равна средней линии: \( h = m = 12 \) см.
5. Также, в равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, боковая сторона равна высоте. Но по условию боковая сторона c = 15 см, а высота h = 12 см. Это противоречие.
6. Давайте проверим свойство: Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, высота равна средней линии. И это верно. \( h = m \).
7. Далее, в равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, боковая сторона не равна высоте.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания.
9. Пусть основания трапеции равны a (меньшее) и b (большее). Боковая сторона c = 15 см. Высота h = 12 см.
10. В равнобокой трапеции, если опустить высоту из вершины меньшего основания на большее, то большее основание разделится на три отрезка: x, a, x. Где x — отрезок, прилежащий к боковой стороне.
11. \( b = a + 2x \).
12. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой (h), боковой стороной (c) и отрезком x, имеем: \( c^2 = h^2 + x^2 \).
13. Подставим известные значения: \( 15^2 = 12^2 + x^2 \)
14. \( 225 = 144 + x^2 \)
15. \( x^2 = 225 - 144 = 81 \)
16. \( x = √81 = 9 \) см.
17. Теперь используем свойство, что для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями, высота равна средней линии: \( h = \frac{a+b}{2} \).
18. \( 12 = \frac{a+b}{2} \).
19. \( a+b = 24 \) см.
20. Мы также знаем, что \( b = a + 2x \), а \( x = 9 \) см.
21. \( b = a + 2(9) \)
22. \( b = a + 18 \).
23. Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) \( a + b = 24 \)
• 2) \( b = a + 18 \)
24. Подставим второе уравнение в первое:
25. \( a + (a + 18) = 24 \)
26. \( 2a + 18 = 24 \)
27. \( 2a = 24 - 18 \)
28. \( 2a = 6 \)
29. \( a = 3 \) см.
30. Найдем большее основание b:
31. \( b = a + 18 = 3 + 18 = 21 \) см.
32. Проверим, что \( a+b=24 \): \( 3 + 21 = 24 \). Верно.
33. Периметр трапеции P = a + b + 2c.
34. P = 3 см + 21 см + 2 * 15 см.
35. P = 24 см + 30 см = 54 см.

Ответ: Периметр трапеции равен 54 см.