Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ABD = 34°, ∠BDC = 73°, ∠CAD = 24°:

Задание 5. Углы вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \( ∠ ABD = 34^\circ \)
• \( ∠ BDC = 73^\circ \)
• \( ∠ CAD = 24^\circ \)

Найти: Углы четырёхугольника ABCD (\( ∠ A, ∠ B, ∠ C, ∠ D \)).

Свойства:

• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
• Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Решение:

1. Найдем угол ∠ABC (угол B):
• \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC \)
• \( ∠ ABD = 34^\circ \) (дано).
• Угол \( ∠ DBC \) опирается на дугу DC. Угол \( ∠ DAC \) (или \( ∠ CAD \)) также опирается на дугу DC.
• Следовательно, \( ∠ DBC = ∠ CAD = 24^\circ \).
• \( ∠ ABC = 34^\circ + 24^\circ = 58^\circ \).
• Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма противоположных углов равна 180°.
• \( ∠ ADC + ∠ ABC = 180^\circ \).
• \( ∠ ADC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \).
2. Найдем угол ∠BCD (угол C):
• \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD \)
• Угол \( ∠ BCA \) опирается на дугу AB. Угол \( ∠ BDA \) опирается на дугу AB.
• \( ∠ BDA = ∠ BDC - ∠ ADC \) - это неверно.
• \( ∠ ADB = ∠ ACB \).
• Угол \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB. Угол \( ∠ ACB \) опирается на дугу AB.
• Угол \( ∠ ADB \) = \( ∠ ADC - ∠ BDC \) = \( 122^\circ - 73^\circ = 49^\circ \).
• Следовательно, \( ∠ ACB = 49^\circ \).
• Угол \( ∠ ACD \) опирается на дугу AD. Угол \( ∠ ABD \) опирается на дугу AD.
• Следовательно, \( ∠ ACD = ∠ ABD = 34^\circ \).
• \( ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 49^\circ + 34^\circ = 83^\circ \).
• Проверим: \( ∠ BCD + ∠ BAD = 180^\circ \).
3. Найдем угол ∠BAD (угол A):
• \( ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD \)
• Угол \( ∠ BAC \) опирается на дугу BC. Угол \( ∠ BDC \) опирается на дугу BC.
• Следовательно, \( ∠ BAC = ∠ BDC = 73^\circ \).
• \( ∠ CAD = 24^\circ \) (дано).
• \( ∠ BAD = 73^\circ + 24^\circ = 97^\circ \).
• Проверим: \( ∠ BAD + ∠ BCD = 97^\circ + 83^\circ = 180^\circ \).
4. Проверим угол ∠ADC (угол D):
• \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC \)
• \( ∠ ADB = 49^\circ \) (найдено ранее).
• \( ∠ BDC = 73^\circ \) (дано).
• \( ∠ ADC = 49^\circ + 73^\circ = 122^\circ \).
• Это совпадает с результатом, полученным ранее.

Ответ:

• \( ∠ A = 97^\circ \)
• \( ∠ B = 58^\circ \)
• \( ∠ C = 83^\circ \)
• \( ∠ D = 122^\circ \)