2. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (\angle ABC = 90°) равна 8 см. Точки F и P — середины сторон АВ и АС соответственно. Вычислите площадь четырехугольника BFPC (рис. 66, а).

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, где ∠ABC = 90° и AB = BC = 8 см. Точки F и P - середины сторон AB и AC соответственно. Нужно найти площадь четырехугольника BFPC.

1. Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \text{ см}^2$$

2. Найдем площадь треугольника AFP.

Так как F и P - середины сторон AB и AC соответственно, то AF = \frac{1}{2} AB = 4 см и AP = \frac{1}{2} AC. Треугольник AFP подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k = \frac{1}{2}.

Тогда $$S_{AFP} = k^2 \cdot S_{ABC} = (\frac{1}{2})^2 \cdot 32 = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^2$$

3. Найдем площадь четырехугольника BFPC.

Площадь четырехугольника BFPC равна разности площадей треугольников ABC и AFP:$$S_{BFPC} = S_{ABC} - S_{AFP} = 32 - 8 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ: 24 см².