4. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а высота в два раза больше длины меньшего основания. Вычислите площадь трапеции, если длина меньшего основания равна 2 см.

1. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, BH - высота. Дано, что угол при основании равен 45°, BC = 2 см, BH = 2 * BC = 4 см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Так как угол BAH = 45°, то треугольник ABH - равнобедренный, и AH = BH = 4 см.

3. Поскольку трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2. Отсюда AD = 2 * AH + BC = 2 * 4 + 2 = 10 см.

4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

Подставим значения:$$S = \frac{2 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$$

Ответ: 24 см².