5. Точки F и P — соответственно середины сторон AD и ВС квадрата ABCD. Точка К лежит на прямой DC так, что РК || FC. Вычислите площадь четырехугольника DFPK, если площадь треугольника FDC равна 4 см².

1. Обозначим сторону квадрата ABCD за a. Так как F и P - середины сторон AD и BC соответственно, то AF = FD = a/2 и BP = PC = a/2.

2. Площадь треугольника FDC равна половине произведения основания FD на высоту DC: $$S_{FDC} = \frac{1}{2} \cdot FD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$. По условию, $$S_{FDC} = 4 \text{ см}^2$$, следовательно, $$\frac{a^2}{4} = 4$$, откуда $$a^2 = 16$$ и $$a = 4 \text{ см}$$.

3. Так как PK || FC и P - середина BC, то точка K - середина DC. Следовательно, DK = KC = a/2 = 2 см.

4. Четырехугольник DFPK - трапеция с основаниями FD = a/2 = 2 см и DK = a/2 = 2 см и высотой AD = a = 4 см. Таким образом, DFPK является прямоугольником.

5. Площадь трапеции DFPK равна: $$S_{DFPK} = \frac{FD + KC}{2} \cdot DC= FD \cdot DK = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$$

Ответ: 4 см²