4. Длина перпендикуляра равна 10 см, а угол между наклонной и плоскостью равен 30°. Найдите длину проекции и наклонной.

Пусть перпендикуляр CB = 10 см, угол между наклонной и плоскостью ∠CAB = 30°, проекция AB - ?, наклонная AC - ?

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, тогда:

$$tg∠CAB = \frac{CB}{AB}$$

$$AB = \frac{CB}{tg∠CAB} = \frac{10}{tg30°} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 10 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$ (см)

$$sin∠CAB = \frac{CB}{AC}$$

$$AC = \frac{CB}{sin∠CAB} = \frac{10}{sin30°} = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$$ (см)

Ответ: AB = $$10\sqrt{3}$$ см, AC = 20 см