18. Для асфальтирования участка длиной 99 м используются 2 катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй — в противоположном. Работать они начали одновременно. Первый каток в каждую минуту проходил 5 м, а второй каток за первую минуту прошел 1,5 м, а за каждую следующую минуту проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Через сколько минут катки встретились?

Пошаговое решение:

• Пусть \( t \) - время в минутах, через которое катки встретились.
• Первый каток проходит 5 м в минуту, значит за \( t \) минут он пройдет \( 5t \) метров.
• Второй каток проходит в первую минуту 1,5 м, а затем каждый раз на 0,5 м больше. Это арифметическая прогрессия с \( a_1 = 1.5 \) и \( d = 0.5 \).
• Расстояние, пройденное вторым катком за \( t \) минут: \( S_t = \frac{t}{2} (2a_1 + (t-1)d) = \frac{t}{2} (2 \cdot 1.5 + (t-1)0.5) \).
• Уравнение: \( 5t + \frac{t}{2} (3 + 0.5t - 0.5) = 99 \).

Ответ: 11 минут