8. Для квадратичной функции \(y = (5 - x)(x + 1)\) найдите множество значений и промежутки монотонности функции.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Раскроем скобки и приведем функцию к стандартному виду: \[y = (5 - x)(x + 1) = 5x + 5 - x^2 - x = -x^2 + 4x + 5\]
2. Найдем координаты вершины параболы \(x_v\) и \(y_v\): \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2\] \[y_v = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\] Вершина параболы: (2, 9).
3. Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-1\)), парабола направлена ветвями вниз. Значит, функция имеет максимум в вершине.
4. Множество значений функции: Так как парабола направлена ветвями вниз, множество значений: \(y \in (-\infty; 9]\).
5. Промежутки монотонности: Функция возрастает на интервале \((-\infty; 2]\) и убывает на интервале \([2; +\infty)\).

Ответ: Множество значений: \(y \in (-\infty; 9]\). Функция возрастает на \((-\infty; 2]\), убывает на \([2; +\infty)\).