5. Один из катетов прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого, площадь треугольника равна 10 см². Найдите гипотенузу.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Пусть длина меньшего катета равна \( x \) см, тогда длина большего катета равна \( 5x \) см.
2. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — катеты. Подставим известные значения: \[\frac{1}{2} \cdot x \cdot 5x = 10\]
3. Решим уравнение: \[\frac{5x^2}{2} = 10\] \[5x^2 = 20\] \[x^2 = 4\] \[x = 2\] (так как длина не может быть отрицательной). Итак, меньший катет равен 2 см, а больший — 10 см.
4. Теперь найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Подставим значения катетов: \[c^2 = 2^2 + 10^2\] \[c^2 = 4 + 100\] \[c^2 = 104\] \[c = \sqrt{104} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26}\]

Ответ: \( 2\sqrt{26} \) см.