7. Примените свойства степени с целым показателем и найдите значение выражения \(\frac{5^{-3} \cdot 125^{-2}}{25^{-4}}\) .

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Представим 125 и 25 как степени числа 5: \[125 = 5^3\] \[25 = 5^2\]
2. Подставим эти значения в выражение: \[\frac{5^{-3} \cdot (5^3)^{-2}}{(5^2)^{-4}}\]
3. Применим свойство \( (a^b)^c = a^{b \cdot c} \): \[\frac{5^{-3} \cdot 5^{-6}}{5^{-8}}\]
4. Применим свойство \( a^b \cdot a^c = a^{b+c} \) в числителе: \[\frac{5^{-9}}{5^{-8}}\]
5. Применим свойство \( \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} \): \[5^{-9 - (-8)} = 5^{-9 + 8} = 5^{-1} = \frac{1}{5}\]

Ответ: \(\frac{1}{5}\)