688. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько: a) [7x+y=8, x-y+3=0; b) (6y-4x=7. 8x-12y=-14; v) {x-2y = 6, y = -4x?

688. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

a) $$\begin{cases}7x+y=8,\\x-y+3=0;\end{cases}$$

Выразим $$y$$ из второго уравнения: $$y = x + 3$$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $$7x + (x + 3) = 8 \Rightarrow 8x + 3 = 8 \Rightarrow 8x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{8}$$.

Теперь найдем $$y$$: $$y = \frac{5}{8} + 3 = \frac{5 + 24}{8} = \frac{29}{8}$$.

Система имеет одно решение: $$x = \frac{5}{8}, y = \frac{29}{8}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.

б) $$\begin{cases}6y-4x=7,\\8x-12y=-14;\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение системы: $$-4x + 6y = 7 \Rightarrow 4x - 6y = -7$$.

Преобразуем второе уравнение системы: $$8x - 12y = -14 \Rightarrow 4x - 6y = -7$$.

Оба уравнения идентичны, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

в) $$\begin{cases}x-2y = 6,\\y = -4x;\end{cases}$$

Подставим второе уравнение в первое: $$x - 2(-4x) = 6 \Rightarrow x + 8x = 6 \Rightarrow 9x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$.

Теперь найдем $$y$$: $$y = -4(\frac{2}{3}) = -\frac{8}{3}$$.

Система имеет одно решение: $$x = \frac{2}{3}, y = -\frac{8}{3}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.