687. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) {2x-6y=10, 8y=7-2x; b) {3x-12=8y, 1,5x-4y=6; v) {y=4x, x-8=-6y; g) {x+y=5, 3x-2y = 8; d) {3-3y=4x, -8x=6y-6; e) {x+4y=5, x-y+3=0.

687. Выясните, имеет ли система решения и сколько:

a) $$\begin{cases}2x-6y=10,\\8y=7-2x;\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение системы: $$2x + 8y = 7$$.

Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$2x = 10 + 6y \Rightarrow x = 5 + 3y$$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$2(5 + 3y) + 8y = 7 \Rightarrow 10 + 6y + 8y = 7 \Rightarrow 14y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{14}$$.

Теперь найдем $$x$$: $$x = 5 + 3(-\frac{3}{14}) = 5 - \frac{9}{14} = \frac{70 - 9}{14} = \frac{61}{14}$$.

Система имеет одно решение: $$x = \frac{61}{14}, y = -\frac{3}{14}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.

---

б) $$\begin{cases}3x-12=8y,\\1,5x-4y=6;\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение системы: $$3x - 8y = 12$$.

Преобразуем второе уравнение системы: $$1,5x - 4y = 6 \Rightarrow 3x - 8y = 12$$.

Оба уравнения идентичны, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

---

в) $$\begin{cases}y=4x,\\x-8=-6y;\end{cases}$$

Подставим первое уравнение во второе: $$x - 8 = -6(4x) \Rightarrow x - 8 = -24x \Rightarrow 25x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{25}$$.

Теперь найдем $$y$$: $$y = 4(\frac{8}{25}) = \frac{32}{25}$$.

Система имеет одно решение: $$x = \frac{8}{25}, y = \frac{32}{25}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.

---

г) $$\begin{cases}x+y=5,\\3x-2y = 8;\end{cases}$$

Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = 5 - y$$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $$3(5 - y) - 2y = 8 \Rightarrow 15 - 3y - 2y = 8 \Rightarrow -5y = -7 \Rightarrow y = \frac{7}{5}$$.

Теперь найдем $$x$$: $$x = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25 - 7}{5} = \frac{18}{5}$$.

Система имеет одно решение: $$x = \frac{18}{5}, y = \frac{7}{5}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.

---

д) $$\begin{cases}3-3y=4x,\\-8x=6y-6;\end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение системы: $$4x + 3y = 3$$.

Преобразуем второе уравнение системы: $$-8x - 6y = -6 \Rightarrow 8x + 6y = 6 \Rightarrow 4x + 3y = 3$$.

Оба уравнения идентичны, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Система имеет бесконечно много решений.

---

e) $$\begin{cases}x+4y=5,\\x-y+3=0;\end{cases}$$

Выразим $$x$$ из второго уравнения: $$x = y - 3$$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $$y - 3 + 4y = 5 \Rightarrow 5y = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{5}$$.

Теперь найдем $$x$$: $$x = \frac{8}{5} - 3 = \frac{8 - 15}{5} = -\frac{7}{5}$$.

Система имеет одно решение: $$x = -\frac{7}{5}, y = \frac{8}{5}$$.

Ответ: Система имеет одно решение.