687. Выясните, имеет ли система решения и сколько: a) {2x-6y=10, 8y=7-2x; б) {3x-12=8y, 1,5x-4y=6; в) {y=4x, x-8=-6y; г) {x+y=5, 3x-2y = 8; д) {3-3y=4x, -8x=6y-6; е) {x+4y=5, x-y+3=0.

Для решения систем уравнений необходимо определить, сколько решений имеет каждая система: одно решение, бесконечно много решений или не имеет решений.

a)

$$2x-6y=10$$

$$8y=7-2x$$

Преобразуем второе уравнение:

$$2x+8y=7$$

Разделим первое уравнение на 2:

$$x-3y=5$$

$$x=5+3y$$

Подставим значение x во второе уравнение:

$$2(5+3y)+8y=7$$

$$10+6y+8y=7$$

$$14y=-3$$

$$y=-\frac{3}{14}$$

$$x=5+3(-\frac{3}{14}) = 5 - \frac{9}{14} = \frac{70-9}{14} = \frac{61}{14}$$

Система имеет одно решение.

б)

$$3x-12=8y$$

$$1,5x-4y=6$$

Преобразуем первое уравнение:

$$3x-8y=12$$

Умножим второе уравнение на 2:

$$3x-8y=12$$

Оба уравнения идентичны, значит система имеет бесконечно много решений.

в)

$$y=4x$$

$$x-8=-6y$$

Подставим первое уравнение во второе:

$$x-8=-6(4x)$$

$$x-8=-24x$$

$$25x=8$$

$$x=\frac{8}{25}$$

$$y=4(\frac{8}{25})=\frac{32}{25}$$

Система имеет одно решение.

г)

$$x+y=5$$

$$3x-2y=8$$

$$x=5-y$$

Подставим значение х во второе уравнение:

$$3(5-y)-2y=8$$

$$15-3y-2y=8$$

$$-5y=-7$$

$$y=\frac{7}{5}$$

$$x=5-\frac{7}{5}=\frac{25-7}{5}=\frac{18}{5}$$

Система имеет одно решение.

д)

$$3-3y=4x$$

$$-8x=6y-6$$

Выразим х из первого уравнения:

$$4x=3-3y$$

$$x=\frac{3-3y}{4}$$

Подставим значение x во второе уравнение:

$$-8(\frac{3-3y}{4})=6y-6$$

$$-2(3-3y)=6y-6$$

$$-6+6y=6y-6$$

$$0=0$$

Система имеет бесконечно много решений.

е)

$$x+4y=5$$

$$x-y+3=0$$

$$x=5-4y$$

Подставим значение х во второе уравнение:

$$5-4y-y+3=0$$

$$8-5y=0$$

$$5y=8$$

$$y=\frac{8}{5}$$

$$x=5-4(\frac{8}{5})=5-\frac{32}{5}=\frac{25-32}{5}=-\frac{7}{5}$$

Система имеет одно решение.

Ответ: а) одно решение; б) бесконечно много решений; в) одно решение; г) одно решение; д) бесконечно много решений; е) одно решение.