4. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \( \varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2} \), где \( t \) - время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, \( \omega = 20 \) град/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а \( \beta = 8 \) град/мин² - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки \( \varphi \) достиг \( 4200^\circ \). Ответ дайте в минутах.

Решаем задачу: 1. Подставляем известные значения в формулу: \(4200 = 20t + \frac{8t^2}{2}\) 2. Упрощаем уравнение: \(4200 = 20t + 4t^2\) 3. Делим обе части уравнения на 4: \(1050 = 5t + t^2\) 4. Преобразуем уравнение в квадратное: \(t^2 + 5t - 1050 = 0\) 5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: * \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1050) = 25 + 4200 = 4225\) * \(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 + 65}{2} = \frac{60}{2} = 30\) * \(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{4225}}{2} = \frac{-5 - 65}{2} = \frac{-70}{2} = -35\) 6. Время не может быть отрицательным, поэтому выбираем \(t = 30\). **Ответ:** 30 минут. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что лебедка наматывает кабель. Угол, на который повернулась катушка, зависит от времени работы лебедки. В этой задаче мы использовали формулу, которая описывает вращение катушки, и решили квадратное уравнение. Одно из временных решений оказалось отрицательным, чего быть не может. Поэтому правильный ответ - 30 минут.