7. (ОБЗ) Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле \(T(t) = T_0 + bt + at^2\), где \(t\) - время в минутах, \(T_0 = 800\) K, \(a = -25\) K/мин², \(b = 325\) K/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решаем задачу: 1. Подставляем известные значения в формулу температуры: \(T(t) = 800 + 325t - 25t^2\) 2. Прибор нужно отключить, когда температура достигнет 1800 K: \(1800 = 800 + 325t - 25t^2\) 3. Преобразуем уравнение в квадратное: \(25t^2 - 325t + 1000 = 0\) 4. Разделим обе части уравнения на 25: \(t^2 - 13t + 40 = 0\) 5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: * \(D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9\) * \(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8\) * \(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\) 6. Нам нужно найти наибольшее время, когда прибор еще не испортится. Так как температура растет, а затем начинает падать (коэффициент при \(t^2\) отрицательный), нам нужно выбрать меньшее время: \(t = 5\) минут. **Ответ:** 5 минут. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что у тебя есть прибор, который нагревается. Температура прибора меняется со временем. В этой задаче нам нужно найти, когда прибор нужно отключить, чтобы он не сломался из-за перегрева. Мы использовали формулу, которая описывает изменение температуры, и решили квадратное уравнение. Получили два времени, но нам нужно выбрать меньшее, потому что после этого времени прибор перегреется.