5. Доказать: / 14⁴-145² кратно 3 и 17, 15⁴-168² кратно 3 и 19

5. Доказать:

Выражение 1: \[14^4 - 145^2\] кратно 3 и 17

• Шаг 1: Раскладываем выражение на множители, используя формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\] Представим \[14^4 - 145^2\] как \[(14^2)^2 - 145^2\] Тогда \[14^4 - 145^2 = (14^2 - 145)(14^2 + 145) = (196 - 145)(196 + 145) = (51)(341)\]
• Шаг 2: Проверяем делимость на 3:
  • 51 делится на 3, так как сумма цифр 5 + 1 = 6, что делится на 3.
• Шаг 3: Проверяем делимость на 17:
  • 51 делится на 17, так как 51 = 17 * 3.
• Шаг 4: Анализируем:
  • Так как 51 делится и на 3, и на 17, то и произведение \[51 \cdot 341\] делится на 3 и на 17.
• Шаг 5: Заключение: Выражение \[14^4 - 145^2\] кратно 3 и 17.

Выражение 2: \[15^4 - 168^2\] кратно 3 и 19

• Шаг 1: Раскладываем выражение на множители, используя формулу разности квадратов: Представим \[15^4 - 168^2\] как \[(15^2)^2 - 168^2\] Тогда \[15^4 - 168^2 = (15^2 - 168)(15^2 + 168) = (225 - 168)(225 + 168) = (57)(393)\]
• Шаг 2: Проверяем делимость на 3:
  • 57 делится на 3, так как сумма цифр 5 + 7 = 12, что делится на 3.
  • 393 делится на 3, так как сумма цифр 3 + 9 + 3 = 15, что делится на 3.
• Шаг 3: Проверяем делимость на 19:
  • 57 делится на 19, так как 57 = 19 * 3.
• Шаг 4: Анализируем:
  • Так как 57 делится и на 3, и на 19, то и произведение \[57 \cdot 393\] делится на 3 и на 19.
• Шаг 5: Заключение: Выражение \[15^4 - 168^2\] кратно 3 и 19.

Ответ: Выражение \(14^4 - 145^2\) кратно 3 и 17, выражение \(15^4 - 168^2\) кратно 3 и 19.