4. Докажите, что выражение: 2x²-4xy+4y² принимает только неотрицательные значения; 4x²-4xy+2y²

4. Докажите, что выражение принимает только неотрицательные значения.

Выражение 1: \[2x^2 - 4xy + 4y^2\]

• Шаг 1: Преобразуем выражение, выделяя полные квадраты: \[2x^2 - 4xy + 4y^2 = 2(x^2 - 2xy + 2y^2) = 2((x^2 - 2xy + y^2) + y^2) = 2((x - y)^2 + y^2)\]
• Шаг 2: Анализируем полученное выражение:
  • \[(x - y)^2\] всегда неотрицательно, так как это квадрат числа.
  • \[y^2\] всегда неотрицательно, так как это квадрат числа.
  • Сумма двух неотрицательных чисел \[(x - y)^2 + y^2\] также неотрицательна.
  • Умножение неотрицательного числа на положительное число 2 дает неотрицательное число.
• Шаг 3: Заключение: Выражение \[2x^2 - 4xy + 4y^2\] всегда принимает только неотрицательные значения.

Выражение 2: \[4x^2 - 4xy + 2y^2\]

• Шаг 1: Преобразуем выражение, выделяя полные квадраты: \[4x^2 - 4xy + 2y^2 = (4x^2 - 4xy + y^2) + y^2 = (2x - y)^2 + y^2\]
• Шаг 2: Анализируем полученное выражение:
  • \[(2x - y)^2\] всегда неотрицательно, так как это квадрат числа.
  • \[y^2\] всегда неотрицательно, так как это квадрат числа.
  • Сумма двух неотрицательных чисел \[(2x - y)^2 + y^2\] также неотрицательна.
• Шаг 3: Заключение: Выражение \[4x^2 - 4xy + 2y^2\] всегда принимает только неотрицательные значения.

Ответ: Выражения \(2x^2 - 4xy + 4y^2\) и \(4x^2 - 4xy + 2y^2\) всегда принимают только неотрицательные значения.