1. Доказать, что функция F(x)=e2x+cosx+х является первообразной функции f(x) = 3ex - sinx+1 на всей числовой оси.

Для доказательства, что функция F(x) является первообразной функции f(x) на всей числовой оси, необходимо показать, что производная F(x) равна f(x) для всех x.

Найдём производную F(x):

$$ F(x) = e^{2x} + \cos{x} + x $$ $$ F'(x) = (e^{2x})' + (\cos{x})' + (x)' $$

Производная экспоненты:

$$ (e^{2x})' = 2e^{2x} $$

Производная косинуса:

$$ (\cos{x})' = -\sin{x} $$

Производная x:

$$ (x)' = 1 $$

Таким образом,

$$ F'(x) = 2e^{2x} - \sin{x} + 1 $$

Теперь нужно доказать, что F'(x) не равна f(x), так как f(x) = 3e^x - sin x + 1. Здесь есть явная ошибка в условии задачи, потому что производная от e^(2x) это 2e^(2x), а не 3e^x, как требуется в функции f(x).

Чтобы функция F(x)=e^(2x)+cos(x)+x являлась первообразной для f(x)=2e^(2x)-sin(x)+1, нужно чтобы F'(x) = f(x).

Исходя из условия задачи, можно предположить опечатку в условии. Пусть функция f(x) = 2e^{2x} - \sin{x} + 1, тогда:

$$ f(x) = 2e^{2x} - \sin{x} + 1 $$

В этом случае F'(x) = f(x), и функция F(x) является первообразной для f(x).

Ответ: Функция F(x) = e^{2x} + cosx + x является первообразной функции f(x) = 2e^{2x} - sinx + 1, если в условии задачи допущена опечатка.