5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у=3-2х и графиком функции у = х²+3x-3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной прямой y = 3 - 2x и графиком функции y = x² + 3x - 3, сначала найдем точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем уравнения:

$$ 3 - 2x = x^2 + 3x - 3 $$

Перенесем все в одну сторону:

$$ x^2 + 3x - 3 - 3 + 2x = 0 $$ $$ x^2 + 5x - 6 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$

Теперь найдем площадь фигуры как интеграл разности функций от x = -6 до x = 1:

$$ S = \int_{-6}^{1} [(3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)] dx = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - x^2 - 3x + 3) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx $$

Интегрируем:

$$ S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x\right]_{-6}^{1} $$

Вычисляем значение интеграла на верхнем пределе:

$$ S(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{5(1)^2}{2} + 6(1) = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6 = \frac{-2 - 15 + 36}{6} = \frac{19}{6} $$

Вычисляем значение интеграла на нижнем пределе:

$$ S(-6) = -\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5(-6)^2}{2} + 6(-6) = -\frac{-216}{3} - \frac{5(36)}{2} - 36 = 72 - 90 - 36 = -54 $$

Вычисляем площадь как разность значений интеграла:

$$ S = S(1) - S(-6) = \frac{19}{6} - (-54) = \frac{19}{6} + 54 = \frac{19 + 324}{6} = \frac{343}{6} $$

Ответ: Площадь фигуры равна $$\frac{343}{6}$$