4. Вычислить интеграл: 3 1) ∫ (+x²) dx; 2) ∫ sin² x dx. 1 0 2 π

1) Вычислить интеграл ∫(3/x + x²) dx от 1 до 3:

$$ \int_{1}^{3} (\frac{3}{x} + x^2) dx = 3 \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx + \int_{1}^{3} x^2 dx $$

Интегрируем:

$$ 3[\ln|x|]_1^3 + [\frac{x^3}{3}]_1^3 = 3(\ln(3) - \ln(1)) + (\frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3}) = 3\ln(3) + (\frac{27}{3} - \frac{1}{3}) = 3\ln(3) + \frac{26}{3} $$ $$ 3\ln(3) + \frac{26}{3} \approx 3 \cdot 1.0986 + 8.6667 = 3.2958 + 8.6667 = 11.9625 $$

2) Вычислить интеграл ∫sin²(x) dx от 0 до π/2:

Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} [x - \frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{2}} $$ $$ \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0))] = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{4} $$

Ответ: 1) $$3\ln(3) + \frac{26}{3}$$, 2) $$\frac{\pi}{4}$$