3. Вычислить площадь фигуры F, изображенной на рисунке 88.

Для вычисления площади фигуры F, изображенной на рисунке 88, необходимо найти координаты точек пересечения графика функции y = -x² + 6x - 5 с осью x и с вертикальными линиями, ограничивающими площадь F. Из рисунка видно, что фигура F ограничена графиком функции y = -x² + 6x - 5, осью x и вертикальными линиями x = 1 и x = 2.

Тогда площадь F вычисляется как интеграл функции y = -x² + 6x - 5 от x = 1 до x = 2:

$$ S = \int_{1}^{2} (-x^2 + 6x - 5) dx $$

Интегрируем:

$$ S = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x\right]_1^2 $$

Вычисляем значение интеграла на верхнем пределе:

$$ S(2) = -\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2) = -\frac{8}{3} + 12 - 10 = -\frac{8}{3} + 2 = \frac{-8 + 6}{3} = -\frac{2}{3} $$

Вычисляем значение интеграла на нижнем пределе:

$$ S(1) = -\frac{1^3}{3} + 3(1)^2 - 5(1) = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{1}{3} - 2 = \frac{-1 - 6}{3} = -\frac{7}{3} $$

Вычисляем площадь как разность значений интеграла:

$$ S = S(2) - S(1) = -\frac{2}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = -\frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{5}{3} $$

Ответ: Площадь фигуры F равна $$S = \frac{5}{3}$$