5. Доказать тождество $$(tg α + ctg α)(1 - cos 4α) = 4 sin 2α$$.

Докажем тождество $$(tg α + ctg α)(1 - cos 4α) = 4 sin 2α$$. Преобразуем левую часть: $$(tg α + ctg α)(1 - cos 4α) = (\frac{sin α}{cos α} + \frac{cos α}{sin α})(1 - cos 4α) = (\frac{sin^2 α + cos^2 α}{sin α cos α})(1 - cos 4α) = \frac{1}{sin α cos α}(1 - cos 4α)$$. Используем формулу двойного угла: $$sin 2α = 2 sin α cos α$$, тогда $$sin α cos α = \frac{1}{2} sin 2α$$. $$\frac{1}{\frac{1}{2} sin 2α}(1 - cos 4α) = \frac{2}{sin 2α}(1 - cos 4α)$$. Используем формулу: $$cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$$, тогда $$cos 4α = 1 - 2 sin^2 2α$$. $$\frac{2}{sin 2α}(1 - (1 - 2 sin^2 2α)) = \frac{2}{sin 2α}(2 sin^2 2α) = \frac{4 sin^2 2α}{sin 2α} = 4 sin 2α$$. Таким образом, $$(tg α + ctg α)(1 - cos 4α) = 4 sin 2α$$. Тождество доказано.