274 Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), если \(\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1\) и \(BH = B_1H_1\), где BH и \(B_1H_1\) — высоты \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) соответственно.

Доказательство:

1. Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\), \(BH = B_1H_1\), где BH и \(B_1H_1\) - высоты.
2. Рассмотрим \(\triangle ABH\) и \(\triangle A_1B_1H_1\). В них:
   • \(\angle AHB = \angle A_1H_1B_1 = 90^\circ\) (т.к. BH и \(B_1H_1\) - высоты)
   • \(BH = B_1H_1\) (по условию)
   • \(\angle BAH = 90^\circ - \angle B\) и \(\angle B_1A_1H_1 = 90^\circ - \angle B_1\). Т.к. \(\angle B = \angle B_1\) (по условию), то \(\angle BAH = \angle B_1A_1H_1\).
3. Следовательно, \(\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1\) по катету и прилежащему острому углу (BH = B₁H₁ и \(\angle BAH = \angle B_1A_1H_1\)).
4. Из равенства треугольников следует, что AB = A₁B₁.
5. Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). В них:
   • \(\angle A = \angle A_1\) (по условию)
   • \(\angle B = \angle B_1\) (по условию)
   • AB = A₁B₁ (доказано выше)
6. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), что и требовалось доказать.