Докажите, что: 1) a³ − 6a² + a − 6 ≥ 0, если a ≥ 6; 2) ab + 1 > a + b, если a > 1 и b > 1; 3) (a + 3)/3 + (3a − 2)/4 < a, если a ≤ −6.

Разложим выражение группировкой:

\(a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a-6)(a^2+1)\).

При \(a\geq 6\) оба множителя неотрицательны, поэтому их произведение неотрицательно.

\(ab+1-a-b=(a-1)(b-1)\). При \(a>1\) и \(b>1\) оба множителя положительны, значит, \((a-1)(b-1)>0\), откуда \(ab+1>a+b\).

Упростим левую часть:

\(\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}=\frac{13a+6}{12}\).

Требуемое неравенство равносильно \(a+6<0\), то есть \(a<-6\). Условие допускает \(a=-6\); при этом обе части равны \(-6\), и строгое неравенство не выполняется. Значит, утверждение неверно при указанном условии; оно было бы верно при \(a<-6\).