Докажите неравенство: 1) 2a² − 8a + 16 > 0; 2) 4b² + 4b + 3 > 0; 3) a² + ab + b² ≥ 0; 4) (3a + 2)(2a − 4) − (2a − 5)² > 3(4a − 12); 5) a(a − 3) > 5(a − 4); 6) (a − b)(a + 5b) ≤ (2a + b)(a + 4b) + ab.

\(2a^2-8a+16=2((a-2)^2+4)>0\), поскольку квадрат неотрицателен.

\(4b^2+4b+3=(2b+1)^2+2>0\).

\(a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+3b^2/4\geq 0\), поскольку оба слагаемых неотрицательны.

Вычтем правую часть из левой:

\((3a+2)(2a-4)-(2a-5)^2-3(4a-12)=2a^2+3>0\).

Следовательно, исходное неравенство верно.

Разность левой и правой частей:

\(a(a-3)-5(a-4)=a^2-8a+20=(a-4)^2+4>0\).

Значит, неравенство верно.

Вычтем левую часть из правой:

\((2a+b)(a+4b)+ab-(a-b)(a+5b)=a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2\geq 0\).

Следовательно, исходное неравенство верно.