5*. Докажите, что АС || BD, если СВ – биссектриса угла ACD, a A BCD – равнобедренный с основанием ВС.

5. Дано: CB - биссектриса ∠ACD, ∆BCD - равнобедренный, BC - основание.

Доказать: AC || BD.

Доказательство:

Т.к. ∆BCD - равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно, ∠CBD = ∠CDB.

CB - биссектриса ∠ACD, следовательно, ∠ACB = ∠BCD.

Пусть ∠ACB = x, тогда ∠BCD = x.

Т.к. ∠BCD - внешний угол ∆ABC, то он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

∠BCD = ∠BAC + ∠ABC.

∠CBD = ∠CDB, следовательно, ∠CBD = (180° - 2x) / 2 = 90° - x.

∠ACB = ∠BAC, значит, ∆ABC - равнобедренный, AB = BC.

∠BAC = ∠ACB = x.

∠ABC = 180° - 2x.

∠ABC = ∠CBD.

∠ACD = 2x, ∠CDB = (180° - 2x) / 2 = 90° - x.

Рассмотрим ∠BCD + ∠CDB = x + 90° - x = 90°, значит, ∠CBD + ∠CDB = 180° - 2x.

Следовательно, сумма внутренних односторонних углов при прямых АС и ВD и секущей CD равна 180°, значит, прямые АС и ВD параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, АС || BD