951 Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: a) A (-3; −1), B (1; −1), C (1; −3), D(-3; −3); б) А (4; 1), В (3; 5), C(-1; 4), D (0; 0).

Решение:

а) A (-3; -1), B (1; -1), C (1; -3), D(-3; -3)

$$AB = \sqrt{(1-(-3))^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{16} = 4$$

$$BC = \sqrt{(1-1)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{4} = 2$$

$$CD = \sqrt{(-3-1)^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{16} = 4$$

$$AD = \sqrt{(-3-(-3))^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{4} = 2$$

Так как AB = CD, BC = AD, то ABCD - параллелограмм.

Найдем диагонали:

$$AC = \sqrt{(1-(-3))^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$

$$BD = \sqrt{(-3-1)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$

Так как AC = BD, то ABCD - прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

$$S = AB \cdot BC = 4 \cdot 2 = 8$$

б) А (4; 1), В (3; 5), C(-1; 4), D (0; 0)

$$AB = \sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$

$$BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

$$CD = \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$

$$AD = \sqrt{(0-4)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$

Так как AB = CD, BC = AD, то ABCD - параллелограмм.

Найдем диагонали:

$$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$

$$BD = \sqrt{(0-3)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$$

Так как AC = BD, то ABCD - прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

Пусть а = $$\sqrt{17}$$, тогда

$$S = a^2 \cdot sin \alpha$$

$$\cos \alpha = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{17 + 17 - 34}{2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = 0$$

$$\alpha = 90^\circ$$

$$S = 17 \cdot sin 90^\circ = 17$$

Ответ: а) S = 8; б) S = 17