947 Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треуголь- ника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; −4), C (5; 2); б) А (-4; 1), В(-2; 4), C (0; 1).

Решение:

a) A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2)

$$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$

$$BC = \sqrt{(5-1)^2 + (2-(-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$

$$AC = \sqrt{(5-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

Так как AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный.

Найдем площадь треугольника АВС.

Полупериметр:

$$p = \frac{\sqrt{26} + \sqrt{52} + \sqrt{26}}{2}$$

Площадь:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{\sqrt{26} + \sqrt{52} + \sqrt{26}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{26} + \sqrt{52} + \sqrt{26}}{2} - \sqrt{26}) \cdot (\frac{\sqrt{26} + \sqrt{52} + \sqrt{26}}{2} - \sqrt{52}) \cdot (\frac{\sqrt{26} + \sqrt{52} + \sqrt{26}}{2} - \sqrt{26})} = 15$$

б) А (-4; 1), В(-2; 4), C (0; 1)

$$AB = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

$$BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

$$AC = \sqrt{(0-(-4))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$$

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.

Найдем площадь треугольника АВС.

Полупериметр:

$$p = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2}$$

Площадь:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} \cdot (\frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} - \sqrt{13}) \cdot (\frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} - \sqrt{13}) \cdot (\frac{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4}{2} - 4)} = 6$$

Ответ: а) S = 15; б) S = 6