950 Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); б) М (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2).

Решение:

а) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4)

$$MN = \sqrt{(6-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{25} = 5$$

$$QP = \sqrt{(7-2)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{25} = 5$$

$$MQ = \sqrt{(2-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

$$NP = \sqrt{(7-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

Так как MN = QP, MQ = NP, то четырехугольник MNPQ - параллелограмм.

Диагонали:

$$MP = \sqrt{(7-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$$

$$NQ = \sqrt{(2-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

б) M (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2)

$$MN = \sqrt{(-4-(-5))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

$$QP = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

$$MQ = \sqrt{(-2-(-5))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

$$NP = \sqrt{(-1-(-4))^2 + (5-4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Так как MN = QP, MQ = NP, то четырехугольник MNPQ - параллелограмм.

Диагонали:

$$MP = \sqrt{(-1-(-5))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$

$$NQ = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$

Ответ: а) MP = $$\sqrt{45}$$, NQ = 5; б) MP = $$\sqrt{32}$$, NQ = $$\sqrt{8}$$