Докажите, что четырехугольник МNKP, заданный координатами своих вершин M(2;2), N(5;3), K(6;6), P(3;-5), является ромбом и вычислите его площадь.

Дано: M(2;2), N(5;3), K(6;6), P(3;-5)

Доказать: MNKP – ромб.

Найти: Площадь ромба MNKP.

Решение:

1. Найдем длины сторон MN, NK, KP, PM:

\[MN = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\]

\[NK = \sqrt{(6 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\]

\[KP = \sqrt{(3 - 6)^2 + (-5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}\]

\[PM = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\]

Так как MN ≠ NK ≠ KP ≠ PM, четырехугольник MNKP не является ромбом.

Вычислим площадь четырехугольника как сумму площадей двух треугольников, MNK и MPK:

2. Площадь треугольника MNK можно найти через определитель:

\[S_{MNK} = \frac{1}{2} |(x_M(y_N - y_K) + x_N(y_K - y_M) + x_K(y_M - y_N))|\]

\[S_{MNK} = \frac{1}{2} |(2(3 - 6) + 5(6 - 2) + 6(2 - 3))| = \frac{1}{2} |(-6 + 20 - 6)| = \frac{1}{2} |8| = 4\]

3. Площадь треугольника MPK:

\[S_{MPK} = \frac{1}{2} |(x_M(y_P - y_K) + x_P(y_K - y_M) + x_K(y_M - y_P))|\]

\[S_{MPK} = \frac{1}{2} |(2(-5 - 6) + 3(6 - 2) + 6(2 - (-5)))| = \frac{1}{2} |(-22 + 12 + 42)| = \frac{1}{2} |32| = 16\]

4. Площадь четырехугольника MNKP:

\[S_{MNKP} = S_{MNK} + S_{MPK} = 4 + 16 = 20\]

Ответ: MNKP не является ромбом, S = 20.

Проверка за 10 секунд: Вычислили длины сторон, убедились, что это не ромб. Нашли площадь как сумму площадей двух треугольников.

Доп. профит: Редфлаг. Внимательно проверяйте условие задачи, чтобы не доказывать то, что неверно!