Найдите координаты точки N,лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек Р(2;4) и К(5;-1).

Дано: P(2;4), K(5;-1)

Найти: координаты точки N(x; 0), равноудаленной от P и K.

Решение:

1. Запишем условие равноудаленности:

PN = KN

2. Выразим расстояния PN и KN через координаты:

\[PN = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 4)^2}\]

\[KN = \sqrt{(x - 5)^2 + (0 - (-1))^2}\]

3. Приравняем PN и KN и решим уравнение:

\[\sqrt{(x - 2)^2 + 16} = \sqrt{(x - 5)^2 + 1}\]

Возведем обе части в квадрат:

\[(x - 2)^2 + 16 = (x - 5)^2 + 1\]

\[x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2 - 10x + 25 + 1\]

\[-4x + 20 = -10x + 26\]

\[6x = 6\]

\[x = 1\]

Точка N имеет координаты (1; 0).

Ответ: N(1; 0)

Проверка за 10 секунд: Записали условие равенства расстояний, выразили через координаты, решили уравнение.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Зная, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных, есть серединный перпендикуляр, можно найти координаты точки N как точку пересечения серединного перпендикуляра и оси абсцисс.